품종 높이 (센티미터), 기준 반지름 (센티미터) 및 부피 (입방 센티미터)

사슴맥주11.9 3.15 350

코코넛 주스 13.2 2.65 250

완자이우유 8.5 3.2 245

룰루 음료 16.8 3.2 500

건력보 10.2 3.25 330

캔 제조 비용의 수학적 모델링 및 계산 프로세스

캔의 윗면, 아랫면, 옆면이 모두 같은 재료라고 가정하면, 같은 용적 하에서 어떤 음료용 재료가 가장 적고, 원가가 가장 낮고, 가장 합리적이다.

① 캔 (사슴 맥주) 의 표면적 s = 2π × 3.15 ×11.9+2π × 3./kloc

입방센티미터당 맥주에 필요한 포장재는 297.8/350=0.85(cm2) 입니다.

② 통조림 (코코넛 주스) 의 표면적 S = 2π × 2.65 ×13.2+2π × 2.652 ≅ 264 (CM2).

입방 센티미터당 코코넛 밀크당 필요한 포장재는 264/250= 1.06(cm2) 입니다.

③ 캔 (왕애버딘 우유) 의 표면적 S = 2π × 3.2 × 8.5+2π × 3.22 𕛠 235 (CM2).

완자이우유는 입방센티미터당 필요한 포장재는 235/245=0.96(cm2) 입니다.

④ 캔 (룰루 음료) 표면적 S = 2π × 3.2 ×16.8+2π × 3.22 𕛠 402 (CM2).

룰루 음료는 입방센티미터당 필요한 포장재는 402/500=0.804(cm2) 입니다.

⑤ 캔 (건력보) 의 표면적 S = 2π × 3.25 ×10.2+2π × 3.252 = 274 (CM2).

건력보음료는 입방센티미터당 필요한 포장재는 274/330=0.83(cm2) 입니다.

위의 다섯 가지 음료의 계산 결과를 보면, 같은 용적 하에서 룰루음료는 다른 음료보다 재료가 적고 자원을 절약한다는 것을 알 수 있다.

그렇다면 자원 절약의 관점에서 어떤 디자인이 가장 합리적입니까?

캔의 높이는 h, 하단 원의 반지름은 r, 원통의 볼륨 공식은 V=

πr2? H, h=V/πr2, 캔의 표면적은 S=2πr2 +2πr h 이므로 S = 2π R2+2V/R

설계 요구 사항에 따라 볼륨 V 는 상수, 반지름 R 은 변수, 표면적 S 는 R 의 함수이므로 문제는 수학 질문으로 변환됩니다. 함수 S 는 어떤 값을 최소값으로 합니까?

S = 2π R2+2v/r = 2π R2+v/r+v/r ≥ 332π R2 에서? (V/r)? (v/r) = 33 2π v2. 2πr2 = V/r, 즉 r =3V/2π 인 경우에만 캔 최소 표면적은 33 2π V2 이고 캔 높이는 2r 입니다. 즉, 캔이 등변 원통으로 설계될 때 가장 적은 재질을 소비한다는 것이다.