선형 보간법은 주어진 데이터 포인트 사이의 값을 추정하기 위해 일반적으로 사용되는 수치 계산 방법입니다. 계산식은 다음과 같습니다.

알려진 데이터 포인트(x?, y?)와 (x?, y?)에 대해 이 두 포인트 사이의 특정 위치에서 x의 추정값 y가 필요합니다. .

먼저 x? 및 x?에 상대적인 x의 배율을 계산합니다.

t = (x - x?) / (x? - x?)

그런 다음 스케일링 계수 t를 사용하여 y? 및 y?에 대해 선형 보간 계산을 수행합니다.

y = y? (y? - y?) * t

여기서, y x에서의 위치 추정값을 나타냅니다.

선형 보간은 알려진 두 데이터 포인트 사이의 직선 보간을 기반으로 하며, 함수가 두 데이터 포인트 사이에서 선형적으로 변경된다고 가정합니다. 이 방법은 간단하고 사용하기 쉬우며 많은 상황에서 수치 추정에 적합합니다. 그러나 이 경우 2차 보간, 스플라인 보간 등 다른 보간 방법을 사용하면 정확도가 제한될 수 있습니다. .

선형 보간법의 도출은 다음과 같습니다.

알려진 데이터 포인트가 두 개(x?, y?)와 (x?, y?)라고 가정합니다. 이 두 지점 사이의 특정 위치 x에서 y의 추정치가 필요합니다.

먼저 점-기울기 공식을 통해 얻을 수 있는 두 점 사이의 직선을 생각해 보세요.

y - y = m(x - x?)

여기서 m은 알려진 두 점 사이의 차이로 찾을 수 있는 직선의 기울기를 나타냅니다.

m = (y? - y?) / (x? - x?)< /p>

점 기울기 방정식을 대체하면 다음을 얻을 수 있습니다.

y - y? = ((y? - y?) / (x? - x?)) * (x - x ?)

정렬 후 다음 결과를 얻습니다:

y = y? ((y? - y?) / (x? - x?)) * (x - x?)

선형보간법의 계산식입니다.

이 공식은 알려진 데이터 포인트(x?, y?)와 (x?, y?) 사이의 모든 위치에서 x의 선형 보간 추정치 y를 표현합니다. 공식의 유도는 점 기울기와 직선의 기울기 계산을 기반으로 직선의 방정식에 x를 가져오면 해당 y 값이 얻어집니다. 선형 보간의 기본 아이디어는 알려진 데이터 포인트 간의 직선 관계를 사용하여 곡선 추정 문제를 단순화하는 것입니다.

선형 보간법은 널리 사용됩니다.

1. 데이터 처리: 개별 데이터 포인트 집합이 있는 경우 선형 보간법을 사용하여 채울 수 있습니다. 데이터가 누락되었거나 추정된 알 수 없는 데이터입니다. 알려지지 않은 데이터는 알려진 데이터 포인트를 선형적으로 피팅함으로써 두 개의 알려진 데이터 포인트 사이의 위치에서 추정될 수 있습니다.

2. 이미지 처리: 이미지 처리에서는 이미지 확대, 축소, 회전 및 기타 작업에 선형 보간이 자주 사용됩니다. 이미지 픽셀 사이에 회색조를 선형으로 보간하면 더 높은 해상도의 이미지를 생성하거나 이미지 크기를 조정할 수 있습니다.

3. 수치 계산: 선형 보간 방법에서는 곡선의 두 점이 주어지면 선형 보간 방법을 사용하여 곡선의 다른 위치에서 함수 값을 추정할 수 있습니다. 이는 수치 적분 및 미분 방정식의 수치 해법과 같은 문제에 폭넓게 적용됩니다.

4. 그리기 및 시각화: 그리기 및 시각화에서는 곡선과 표면을 부드럽게 만들어 곡선이나 표면을 더욱 연속적이고 매끄럽게 만드는 데 종종 선형 보간이 사용됩니다. 알려진 데이터 포인트 사이를 선형으로 보간하면 연속적인 곡선이나 표면을 얻을 수 있어 시각화가 향상됩니다.

선형 보간 방법의 계산 공식 예

다음과 같은 알려진 데이터 포인트가 있다고 가정합니다:

(x?, y?) = (2, 4) < /p>

(x?, y?) = (6, 10)

이제 x = 4 위치에서 선형 보간을 수행해야 합니다. 즉, 해당 y 값을 찾아야 합니다. .

먼저 x? 및 x?에 대한 x의 배율 인수를 계산합니다.

t = (x - x?) / (x? - x?) = (4 - 2 ) / (6 - 2) = 2/4 = 0.5

다음으로 배율 t를 사용하여 y? 및 y?에 대해 선형 보간 계산을 수행합니다.

y = y?( y? - y?) * t = 4 (10 - 4) * 0.5 = 4 6 * 0.5 = 7

따라서 x = 4 위치에서 선형보간법으로 추정한 값은 y=7입니다.

이 예에서는 선형 보간을 사용하여 알려진 데이터 포인트 사이의 위치 추정치를 계산하는 방법을 보여줍니다. 스케일 팩터를 계산하고 이를 두 데이터 포인트 간의 차이에 적용하면 원하는 위치에서 추정치를 얻을 수 있습니다.